从单位圆周到黎曼曲面（三等奖）

作者：华山派小6

在中学里，我们已经知道：许多常见的平面几何图形都可以用代数方程来描述。比如单位圆周（即以原点为圆心且半径为1 的圆周）的方程是 $x^2 + y^2 =1$ . (*)具体来说，单位圆周上每个点P可以用一对实数( $x$ , $y$ )来表示（称为坐标），它们满足关系式(*); 反过来，所有满足该关系式的数组( $x$ , $y$ )都对应单位圆周上的点。

图1

一个有趣的问题是：如果将 $x$ 和 $y$ 的取值范围扩大到复数情形，那么这个图形会变成什么样呢？

为了回答这个问题，我们首先来解释复数是什么。容易看到，方程 $x^2=-1$ 在实数范围内是没有解的。这是因为任何实数的平方总是大于等于零。尽管如此，我们可以模仿实数情形的开根运算，强制定义该方程的两个解： $x_1=\sqrt{-1}, x_2=\sqrt{-1}$ 那么 $\sqrt{-1}$ 是否真正有意义呢？为了说明它有意义，就必须选择一种直观的方式让人们能够“看到”它。当我们谈论 $\sqrt{2}$ 或者 $\sqrt{5}$ 等等具体实数时，它们总可以被解释成面积为2或者5 的正方形的边长。但是 $\sqrt{-1}$ 却不能用这种直观方式来解释。因为你无法说清楚一个面积为-1的正方形是什么。所以这种方式还不足以让我们“看到” $\sqrt{-1}$ 的模样。

因此我们必须寻找其他方法来解释 $\sqrt{-1}$ . 事实上，实数本身就有一种直观的解释：它们可以看成直线上的点（反之亦然）。那么 $\sqrt{-1}$ 是否可以看成平面上的点呢？这个想法来自于大数学家高斯。他把平面上的每个点( $x$ , $y$ )看成一个新的“数” $x+y\sqrt{-1}$ 这样， $\sqrt{-1}$ 恰好对应平面上的坐标点(0,1)；而每个实数则恰好对应 $x$ 轴（图2 的水平直线）上的点。为了书写方便， $\sqrt{-1}$ 传统上记为字母 $i$ , 被称作虚数单位。 $x+yi$ 被称为复数。

图2

这样一来，复数就变得和实数一样直观了。所有的复数放在一起构成了一个比实数集合更大的数系。从上面的几何解释来看，实数集合相当于一条直线（叫做实数轴），而复数集合则是整个平面（叫做复平面）。此外，人们也能在复数上建立起加减乘除四则运算，它们保留了实数运算的所有规律。

你可能会想，既然方程 $x^2=-1$ 创造了复数，那么其他代数方程（比如 $x^9+x+1=0$ 等等）是否会创造出其他与众不同的“新”数呢？高斯给出了否定回答。他断言，任何形如 $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0$ 的方程的解都只能是复数（这里诸 $a_k$ 是你事先取定的复数）。从这个意义上说，复数集合是最大的数系了。

现在回到一开始的问题上。当我们把点( $x$ , $y$ )中的分量 $x$ , $y$ 的取值范围扩大到复数集合时，原来的平面显然已无法容纳这样的点了。因此我们需要把平面扩大到维度更高的空间里（就像刚才把实数轴扩大到复平面一样）。因为 $x$ , $y$ 现在是复数，所以我们不妨把它们写成 $\left\{ \begin{array}{lr} x = u + vi, \\y = s + ti. \end{array}\right.$ ( $x$ , $y$ )的全部信息实际上是由实数组( $u$ , $v$ , $s$ , $t$ )完全确定的。反过来，任取四个实数，当然也能得到( $x$ , $y$ ) . 仿照平面的作法，我们可以构建一个四维空间。这个空间中的点可以由实数组( $u$ , $v$ , $s$ , $t$ )来确定。这样一来，( $x$ , $y$ )就可以看成是四维空间里的点。

我们考虑那些满足 $x^2 + y^2 =1$ 的数组( $x$ , $y$ ) . 首先，根据上面的讨论，它们被置于四维空间( $u$ , $v$ , $s$ , $t$ )中。我们要做的就是找出这四个量 $u$ , $v$ , $s$ , $t$ 之间的关系。只须将(**)代入到上述方程中就可以得到 $(u^2 - v^2 + s^2 -t^2)+(2uv+2st)i=1$ 为了让左边的复数和右边的1 相等（把它们看成复平面上的点比较一下），则必须有 $\left\{ \begin{array}{lr} u^2 - v^2 + s^2 - t^2 = 1,\\uv + st = 0. \end{array} \right.$ 这就是它们之间必须满足的关系式。由于四个变量 $u$ , $v$ , $s$ , $t$ 要同时满足两个方程，因而其中有两个变量能被剩下的两个变量表示出来（尽管我们未必能写出明显的表达式）。这就表明，满足 $x^2 + y^2 =1$ 的点组成的几何图形在四维空间中构成一个曲面！这里的曲面就是我们通常说的二维几何物体（想象一下你见过的皮球和救生圈等等的表面）。

接下来的问题当然是如何“看到”这个曲面。遗憾的是，我们无法在现实世界中呈现四维空间，所以你不可能在四维空间里直接观察这个曲面。尽管如此，我们仍然可以通过数学手段去考察它。比如，利用拓扑和复分析的工具，可以发现这个曲面应该形如一个皮球（可能有点瘪）。

图3

当然，如果你真想看到它的样子，也是有办法的，只是要付出些代价。比如我们可以把四维空间压缩成三维空间（想像把一个易拉罐压扁的情形）。这样一来，四维空间中的曲面就变成了三维空间中的曲面。但是这种压缩往往是有副作用的：它会把曲面压坏掉，使得曲面上出现一些“褶皱”。这种“褶皱”在现实世界的三维空间中是不可能出现的。

图4

图5

比如上述两幅图都是该曲面压缩到三维空间中的局部示意图。它看上去像是上下两圆盘在某条“褶皱”处彼此穿越过对方而连接起来。如果是在现实世界中，这种穿越必然导致圆盘在褶皱处撕裂开一条缝，以便让其中一个圆盘能够穿过去。但事实上，这样的裂缝并不存在。

那么这样的曲面和原先的单位圆周之间是什么关系呢？我们看到，原始的实数坐标点( $x$ , $y$ )相当于四维空间中的点( $u$ ,0, $s$ ,0) . 这种点构成的几何图形是四维空间中的一个平面（类似于你的桌面，只不过它悬浮在四维空间中）。因此，我们看到的单位圆周只不过是这个曲面和该平面交截出的曲线而已（见图6）。